Chaynic
Участник
|
| отправлено: 10-12-2008 09:32:52 | |
инфо • правка • ссылка • сообщить модератору |
To ili...ili
цитата:
Хочется не алгебраического решения. Ищите... Большинство задач можно решить разными способами. Я всего лишь предложил решение, которое мне кажется простейшим. |
|
| IP |
|
N14__
Участник
|
| отправлено: 10-12-2008 12:40:45 | |
инфо • правка • ссылка • сообщить модератору |
To Chaynic
цитата:
Две ровные стенки соединяются под углом А. Из бесконечности параллельно одной из стенок на расстоянии h от нее налетает точечная частица. Она влетает в угол, испытывает серию абсолютно упругих столкновений со стенками и вылетает из угла. На какое минимальное расстояние к вершине угла (точке, где стенки сходятся) приближается эта частица во время своего движения?
Силы тяжести нет.
навскидку из интуиции сразу даю ответ - h. От угла не зависит. |
|
| IP |
|
Chaynic
Участник
|
| отправлено: 10-12-2008 18:43:15 | |
инфо • правка • ссылка • сообщить модератору |
To N14__
цитата:
навскидку из интуиции сразу даю ответ - h. От угла не зависит. Чудненько. Осталось обосновать Ваш ответ. |
|
| IP |
|
Gierus
Участник
|
| отправлено: 11-12-2008 11:35:13 | |
инфо • правка • ссылка • сообщить модератору |
To Chaynic
Ответ: расстояние до вершины х(n)=h/sin(nA). n - максимально большое число, удовлетворяющее условию nA<Pi/2.
To N14__
Легко видеть, что Ваш ответ неверен. Для углов, больших Pi/4, имеется 2 соударения, после чего шарик вылетает из угла. При этом при втором соударение расстояние от вершины будет больше, чем при первом, равном h/sin(A).
Извиняюсь, наврал. См. пост ниже.
|
| Сообщение изменено Gierus от 2008-12-11 13:02:12 |
|
| IP |
|
Chaynic
Участник
|
| отправлено: 11-12-2008 12:20:36 | |
инфо • правка • ссылка • сообщить модератору |
To Gierus
Возможно, я ошибаюсь, но мне кажется,что Вы молчаливо полагаете, что минимальное расстояние будет в момент удара частицы о стенку. Это, как минимум, неочевидно. |
|
| IP |
|
ili...ili
Участник
... † ...
|
| отправлено: 11-12-2008 12:30:16 | |
инфо • правка • ссылка • сообщить модератору |
To Chaynic цитата:
Возможно, я ошибаюсь, но мне кажется,что Вы молчаливо полагаете, что минимальное расстояние будет в момент удара частицы о стенку. Это, как минимум, неочевидно. То есть вы допускаете, что после удара частицы об стенку, она может приближаться к углу и более при этом уже не удариться? А куда она денется? |
|
| IP |
|
ili...ili
Участник
... † ...
|
| отправлено: 11-12-2008 12:34:56 | |
инфо • правка • ссылка • сообщить модератору |
To Gierus
цитата:
To N14__
Легко видеть, что Ваш ответ неверен. Для углов, больших Pi/4, имеется 2 соударения, после чего шарик вылетает из угла. При этом при втором соударение расстояние от вершины будет больше, чем при первом, равном h/sin(A).
Нет ни одного правильного (полностью правильного) утверждения.
1) из вашей формулы получается, что минимальное расстояние равно h, что и утверждала To N14__ . Второе ее утверждение ("От угла не зависит") всего лишь допущение, а не ответ.
2) "Для углов, больших Pi/4, имеется 2 соударения" - это неверно в диапазоне углов от 45 до 60 градусов, когда происходит 3 соударения.
3) Не успел... Корень квадратный превратился в синус, что, конечно, ближе к истине. |
|
| IP |
|
Gierus
Участник
|
| отправлено: 11-12-2008 12:50:01 | |
инфо • правка • ссылка • сообщить модератору |
To Chaynic
Прсмотрел. Ответ действительно получился h, как у N14__. Значит она права во всем - и при углах>Pi/4. Ответ неверен лишь при углах >Pi/2, но там всего одно соударение, что противоречит условиям задачи. |
| Сообщение изменено Gierus от 2008-12-11 12:50:28 |
|
| IP |
|
ili...ili
Участник
... † ...
|
| отправлено: 11-12-2008 13:03:55 | |
инфо • правка • ссылка • сообщить модератору |
Задачка.
Имеется угол, значение которого плавно уменьшается по мере приближения к вершине, в пределе – у самой вершины – достигая 0 градусов. То есть перед смыканием угла в точку образующие его линии становятся практически совершенно параллельны, а при смыкании – «параллельны» абсолютно.
Возможен ли такой угол?
(Иллюстрация. Для наглядности представим, что стороны угла имеют толщину, пусть в 1/10 ширины зазора. При приближении к точке соединения сторон угол превратится практически в ровную трубу. Если приближаться к этой точке соединения, сохраняя масштаб наблюдения такой, что расстояние между сторонами будет постоянным, то видимая непараллельность сторон в конце концов исчезнет, труба станет идеальной, а движение к её концу – непрекращающимся)
|
|
| IP |
|
N14__
Участник
|
| отправлено: 11-12-2008 14:14:19 | |
инфо • правка • ссылка • сообщить модератору |
To Gierus
цитата:
Ответ неверен лишь при углах >Pi/2, но там всего одно соударение, что противоречит условиям задачи. почему это неверен? верен! и условиям задачи не противоречит! - в задаче вопрос цитата:
На какое минимальное расстояние к вершине угла приближается эта частица во время своего движения? - так вот на минимальном расстоянии h частица пройдет ДО первого (и единственного) соударения |
|
| IP |
|
Gierus
Участник
|
| отправлено: 11-12-2008 15:22:01 | |
инфо • правка • ссылка • сообщить модератору |
Решение.
1. Легко показать, что при каждом соударении угол между траекторией шарика и соответствующей стенкой увеличивается на величину А.
2. При рассмотрении треугольника, соединяющего точки n-1-го и n-го соударений и вершины, пользуясь теоремой синусов, можно показать, что расстояние от вершины до мест соударений x(n) и x(n-1) связаны соотношением: x(n)/sin(n*A)=x(n-1)/sin((n-1)*A). Откуда, исходя из того, что x(1)=h/sin(A), легко получаем x(n)=h/sin(n*A). При условии, что шарик падает на каждую стенку под острым углом. Т.е. n*A<Pi/2.
3. Рассмотрев последний треугольник, удовлетворяющий последнему условию, проведя в нем высоту y, легко увидим, что y=x(n)sin(n*A). Откуда и получается, что y=h.
Добавлю еще, что только в последнем треугольника высота к нему находится в пределах угла (он единственный - остроугольный). В остальных случаях высота, имеющая, кстати, ту же величину, расположена вне угла (и траектории шарика). |
| Сообщение изменено Gierus от 2008-12-11 15:28:45 |
|
| IP |
|
N14__
Участник
|
| отправлено: 11-12-2008 19:01:24 | |
инфо • правка • ссылка • сообщить модератору |
To Chaynic
проще и красивее. Без всяких арифм.вычислений. Потому как изначально было ясно, что оно, красивое, должно было быть.
Из одной точки на плоскости рисуем наши углы, последовательно их откладывая - размножим имеющийся данный угол. Сколько влезет на полуплоскость, столько и нарисуем. То есть у всех у них одна вершина. Потом рисуем прямую, по которой мчится частица. Эта прямая пересекает как-то стороны углов. Внимательно смотрим и видим - равенство тех треугольничков, с которыми колдовал Герус, другим треугольничкам, у той прямой. И сразу ответ. |
| Сообщение изменено N14__ от 2008-12-11 19:06:12 |
|
| IP |
|
Chaynic
Участник
|
| отправлено: 11-12-2008 21:40:42 | |
инфо • правка • ссылка • сообщить модератору |
To N14__
Действительно, красивое решение.
Может, Вы оцените и такое:
Легко видеть, что при отражении частицы от стенки ее момент импульса относительно вершины угла меняет только знак, оставаясь тем же по абсолютной величине.
В точке траектории, ближайшей к вершине, скорость очевидно перпендикулярна отрезку от этой точки к вершине. Отсюда следует, что этот отрезок равен h. |
| Сообщение изменено Chaynic от 2008-12-11 21:41:22 |
|
| IP |
|
Gierus
Участник
|
| отправлено: 12-12-2008 09:42:44 | |
инфо • правка • ссылка • сообщить модератору |
To Chaynic
To N14__
Ваши решения красивые - спору нет. Один недостаток у них - чтоб к ним прийти требуется значительно больше времени для раздумий. Даже желательно иметь под рукой мое решение. Собственно, когда я изложил его, у меня появилась мысль получить другое решение, путем, аналогичным методу отображения в электростатике (к чему, фактически, решение N14__ и свелось). Но отсутствие времени не позволило этим заниматься. Но решения - красивые (повторюсь). |
|
| IP |
|
N14__
Участник
|
| отправлено: 12-12-2008 14:19:05 | |
инфо • правка • ссылка • сообщить модератору |
To Chaynic
цитата:
Легко видеть, что при отражении частицы от стенки ее момент импульса относительно вершины угла меняет только знак, оставаясь тем же по абсолютной величине.
В точке траектории, ближайшей к вершине, скорость очевидно перпендикулярна отрезку от этой точки к вершине. Отсюда следует, что этот отрезок равен h. соглашусь в принципе с идеей. Но её реализация меня смутила.
1)как может момент импульса МЕНЯТЬ ЗНАК при отражении? --- это абсолютно неверно. Потому как он стоит священной коровой неподвижно, протыкая экран - по закону своего сохранения.
2) если что-то и меняет знак, то только в одном случае - когда частица падает под 90 градусов на стенку. В остальных случаях надо говорить, что вектор меняет направление. Кстати, меняются направления как импульса, так и r (чтоб момент остался неподвижным).
3) если у Вас в решении нет абсолютного сохранения момента импульса, так под вопросом вообще всё решение в принципе, ничему нет доверия.
4) упругий удар сохраняет модуль импульса - об этом надо было бы изречь.
|
|
| IP |
|
|