Quercus
Участник
licq:1887
|
| отправлено: 02-01-2010 09:55:50 | |
инфо • правка • ссылка • сообщить модератору |
Как известно, длина окружности = 2 PI r, площадь круга = PI r^2.
Если приглядеться видно что одна формула из другой получается дифференцированием (интегрированием) по r.
Собственно и вопрос - почему так?
И еще - периметр правильного многоугольника, выраженный через радиус вписанной в не окружности = 2 n r tg (PI / n), где n - число сторон, а его площадь равна = n r^2 tg (PI / n), то есть опять же периметр и площадь получаются друг из друга дифференцированием (интегрированием) по r.
Опять же, почему? Это простое совпадение, подгонка или в этом есть какой-то глубокий смысл?
|
|
| IP |
|
lb
Модератор
licq:3079
|
| отправлено: 02-01-2010 10:24:00 | |
инфо • правка • ссылка • сообщить модератору |
To Quercus
Самый простой ответ дилетанта (строго нематематика):
- что такое интегрирование, как ни получение площади под интегрируемой фигурой?! в этом случае интегрирование "по контуру" длины окружности, как операция обратная дифференцированию, должно дать площадь круга! вот и дает.
(надеюсь, что строго математическое взятие интеграла по контуру даст совершенно другой результат)
 |
|
| IP |
|
Quercus
Участник
licq:1887
|
| отправлено: 02-01-2010 10:36:52 | |
инфо • правка • ссылка • сообщить модератору |
Добавлю еще несколько нюансов:
- Длина окружности и площадь круга, выраженные через диаметр уже не дают такой красоты
- Если для правильных многоугольников выразить периметр и площадь через радиус описанной окружности, то опять же красоты не будет
- Площадь поверхности шара - 4 PI r^2, объем шара - 4/3 PI r^3 - снова срабатывает дифференцирование. Подозреваю (хотя не проверял), что для правильных многогранников формулы площади поверхности и объема выраженные через радиус вписанного шара опять же будут связаны дифференцированием. |
|
| IP |
|
ych
Участник
vanitas vanitatum
licq:3461
|
| отправлено: 02-01-2010 19:45:54 | |
инфо • правка • ссылка • сообщить модератору |
Красота тут не имеет особого значения.
Прибавьте к радиусу r малое приращение dr (dr << r). Получим новую окружность, почти совпадающую с исходной по длине 2 Pi r. Приращение площади - есть произведение производной на dr, то есть производная равна 2 Pi r. |
|
| IP |
|
Агнешка
Новичок
|
| отправлено: 02-01-2010 22:41:40 | |
инфо • правка • ссылка • сообщить модератору |
To Quercus
Всё правильно, ych верно объяснил, тут обычное интегрирование: чтобы получить (n-мерный) объём n-мерного шара, нужно проинтегрировать от 0 до R (n-1)-мерные объёмы шаров, его составляющих: ну, как будто суммировать длины всех концентрических окружностей, заполняющих круг с тем же центром. Аналогично с многоугольниками: суммируем длины всех "концентрических" многоугольников с радиусами вписанной окружности, и именно от 0 до радиуса вписанной (а не описанной) окружности. |
|
| IP |
|
Сообщение отправленное sashca от 07-05-2010 10:22:51 скрыто модератором
|