ААЗ
Участник
|
| отправлено: 06-09-2006 10:04:48 | |
инфо • правка • ссылка • сообщить модератору |
В теме "Наука, о существовании БОГА" Chaynic задал мне следующий вопрос:
цитата:
Прекрасно понимая, что не относится к теме, но может проясните. Практически одновременно с Лобачевским была развита теория Римана, насколько я понимаю, гораздо более общая. Или я ошибаюсь? Не могли бы Вы привести кратенькое их сравнение, а то у меня всегда было подозрение, что роль Лобачевского несколько преувеличена. Спасибо.
Поскольку к существованию Бога геометрия Лобачевского вряд ли имеет какое-либо отношение, а также чтобы не мешать в той теме заядлым спорщикам, я решил для ответа Chaynicу создать отдельную тему. А так как отнюдь не все хорошо представляют, что же это за геометрия Лобачевского такая, я прежде всего дам необходимые пояснения и кратко опишу историю появления этой геометрии. И да простят меня за это Chaynic и другие владеющие вопросом господа - они могут просто пропустить начало темы. Я также прошу у всех прощения за свою лень и нежелание полностью все писать своими словами, кое-какие куски текста я просто надергал с одного из сайтов. Однако в целом материал мной переработан, так что все это можно воспринимать как мое личное изложение. Сайт не цитирую (если уж быть плагиатором, то злостным). Материал будет изложен как серия постов, возможно, с интервалом в несколько дней - не обессудьте, времени не много. Итак, приступим.
|
|
| IP |
|
3лоВреD
Участник
Dark Side
licq:4262
|
|
ААЗ
Участник
|
| отправлено: 06-09-2006 10:09:50 | |
инфо • правка • ссылка • сообщить модератору |
Аксиоматический подход к геометрии
Идея построения научной теории была сформулирована к началу III века до н.э. в работах Аристотеля. Ну а к геометрии эта идея была применена впервые Евклидом в его работе "Начала". На основании накопленных к тому времени фактов и знаний он выделил и сформулировал несколько утверждений (постулатов), принимаемых без доказательств, из которых выводились их логические следствия в виде теорем. Система Евклида явилась первым опытом применения аксиоматического метода и просущестовала без изменений до XIX века н.э. Однако она обладала рядом недостатков с современной точки зрения на аксиоматичекий метод, и на рубеже XIX-XX веков была построена геометрическая система, свободная от этих недостатков.
Суть аксиоматического метода построения научной теории состоит в следующем:
- Перечисляются основные (неопределяемые) понятия. Основные понятия делятся на два вида: одни обозначают объекты, которыми занимается теория, другие обозначают отношения между ними. Так, точка и прямая - это объекты геометрии, а то, что точка принадлежит прямой, - отношение между ними.
- Все вновь возникающие понятия должны быть определены через основные понятия и понятия, определенные ранее.
- Формулируются аксиомы - предложения, принимаемые без доказательства.
- Все остальные предложения должны являться логическим следствием аксиом или ранее доказанных утверждений.
Список основных понятий и формулировки аксиом составляет основу теории и, в частности, планиметрии. Необходимо отметить, что основные понятия и аксиомы (назовем их кратко системой) вовсе не обязательно имеют отношение к окружающему нас реальному миру. Они являются основой абстрактной теории, которая выводится как логическое их следствие, безотносительно к тому, верна исходная система или нет с нашей точки зрения.
К середине XIX века, как уже было отмечено, основания евклидовой геометрии оставались на том же уровне, как они были изложены в работах Евклида. Однако общая тенденция к повышению математической строгости во второй половине XIX века побудила многих авторов к пересмотру основ геометрии с целью предложить полную, непротиворечивую, независимую систему аксиом. Наибольшее признание среди различных сформулированных систем получила аксиоматика немецкого математика Давида Гильберта, изложенная в его книге "Основания геометрии" в 1899 г. Ему удалось построить аксиоматику геометрии, расчлененную настолько естественным образом, что логическая структура геометрии становилась совершенно прозрачной: три группы аксиом управляют каждая своим основным отношением - принадлежности, порядка, равенства. При этом система задавала действительно абстрактную теорию, в которой объекты и отношения между ними - это просто какие-то мыслимые "вещи", про которые известно только то, что они удовлетворяют аксиомам.
Наряду с системой аксиом Гильберта можно назвать и другие варианты аксиоматики евклидовой геометрии: аксиоматика, предложенная в 1904 году Фридрихом Шуром и основанная на понятии движения (наложения) (эта идея используется в учебнике геометрии для средних школ в России, изданного под научным руководством академика А.Н.Тихонова), аксиоматика, основанная на понятии о численном расстоянии, предложенная тогда же В.Ф.Каганом, векторная аксиоматика Германа Вейля и др.
Несмотря на то, что вопрос о формулировке непротиворечивой, полной и независимой системы аксиом геометрии был решен, выбор "удобной" системы остается открытым еще и с точки зрения методики и наглядности изложения материала, т.е. с точки зрения педагогики. В связи с этим необходимо заметить, что приведенная в школьных учебниках система аксиом не является полной (то есть приведенных аксиом недостаточно для построения теории). Так, в частности, ниоткуда не следует, что между двумя данными точками прямой лежит еще точка этой прямой. Нам кажется это очевидным, так как прямая, по нашим представлениям, сплошная, непрерывная, без "дыр". Но это представление должно получить точное определение в виде свойства прямой. Аксиома, задающая это свойство, есть, и она называется "аксиомой непрерывности". Но эта аксиома не приводится в курсе, поскольку ее использование затруднит изложение и приходится поступиться строгостью в угоду наглядности и простоте. Не везде обосновывают и утверждения, которые кажутся очевидными, но их строгое обоснование трудоемко и объемно. Таким примером является утверждение: простая замкнутая ломаная разбивает плоскость на две части - ограниченный многоугольник и неограниченную фигуру, дополняющую до всей плоскости.
|
| Сообщение изменено ААЗ от 2006-09-06 10:11:04 |
|
| IP |
|
3лоВреD
Участник
Dark Side
licq:4262
|
|
ААЗ
Участник
|
| отправлено: 06-09-2006 11:01:32 | |
инфо • правка • ссылка • сообщить модератору |
Аксиомы Евклидовой геометрии
Приведу здесь один из вариантов системы аксиом обычной геометрии Евклида. Стоит отметить, что некоторая нестрогость в данной системе аксиом все-таки присутствует, поскольку некоторые понятия, используемые в аксиомах, не определяются (развернутый угол, треугольник, и т.д.) Однако всем понятно, что означают эти понятия, а мне лень исправлять эти нестрогости (напоминаю, большинство материала взято с одного из сайтов).
Основные (неопределяемые) объекты:
Основные (неопределяемые) отношения между ними:
- точка принадлежит фигуре, в частности прямой
- точка лежит между двумя точками для точек прямой
Определения, базирующиеся на основных определениях:
- фигура называется объединением некоторых данных фигур, если ей принадлежат все точки этих фигур, и никакие другие
- отрезком называется часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих между двумя данными ее точками; эти точки называются концами отрезка
- лучом AB называется часть прямой, состоящая из всех ее точек, лежащих по ту же сторону от точки A, что и точка B; точка A называется вершиной луча
- углом называется фигура, которая состоит из точки – вершины угла и двух различных лучей, исходящих из этой точки, – сторон угла
- полуплоскостью, ограниченной прямой a, называется фигура, обладающая следующими свойствами: 1) она не содержит прямую a; 2) если точки A и B принадлежат полуплоскости, то отрезок AB не имеет общих точек с a; 3) если же A принадлежит полуплоскости, а B нет, то отрезок AB имеет общую точку с прямой a
Далее - система аксиом (состоящая из 5 групп).
I. Аксиомы связи прямой и точки
- существуют, по крайней мере, две точки
- какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей
- через любые две точки можно провести прямую и только одну
- из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими
II. Метрические аксиомы отрезка
- каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля; длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой
- на каждом луче от его начала можно отложить отрезок заданной длины и только один
III. Аксиома непрерывности
- Пусть A и B - любые две точки прямой a и пусть L и L' - совокупности всех точек отрезка AB, таких что A принадлежит L, B принадлежит L', и любая точка из L лежит по ту же сторону, что и точка A от любой точки из L'; тогда существует точка C, такая что любая точка из L лежит по ту же сторону от C, что и A, а любая точка из L' лежит по ту же сторону от C, что и B.
IV. Аксиомы плоскости
- прямая разбивает плоскость на две полуплоскости
- каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля; развернутый угол равен 180°; градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами
- от любого луча в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и только один
- каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данного луча
V. Аксиома параллельности Евклида
- через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, не пересекающей данную
|
| Сообщение изменено ААЗ от 2006-09-06 11:09:33 |
|
| IP |
|
ААЗ
Участник
|
| отправлено: 06-09-2006 12:02:33 | |
инфо • правка • ссылка • сообщить модератору |
Геометрия Лобачевского
Вернемся к истории.
Приведенная последней аксиома о параллельности прямых была и у Евклида. Называлась она у него пятым постулатом о параллельных линиях, и формулировалась следующим образом: если две прямые образуют
с третьей по одну ее сторону внутренние углы, сумма которых меньше развернутого угла, то такие прямые пересекаются при достаточном продолжении с одной стороны. Нетрудно доказать эквивалентность этой формулировки Евклида современной формулировке: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, не пересекающей данную.
Сложность формулировки пятого постулата породила мысль о возможной зависимости его от других постулатов, и потому возникали попытки вывести его из остальных предпосылок геометрии. Как правило, это заканчивалось неудачей. Были попытки доказательства от противного: прийти к противоречию, предполагая верным отрицание постулата. Однако и этот путь был безуспешным.
Наконец, в начале XIX века почти одновременно сразу у нескольких математиков - Н.Лобачевского в России, К.Гаусса в Германии и Я.Больяи в Венгрии - возникла мысль о существовании геометрии, в которой верна аксиома: на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, не пересекающие данную.
Н.Лобачевский первым выступил с этой идеей в 1826 г., в 1829-1830 гг. была напечатана его работа "О началах геометрии" с изложением его теории. В 1932 г. была опубликована работа венгерского математика Я.Больяй аналогичного содержания. Как выяснилось впоследствии, немецкий математик К.Гаусс также пришел к мысли о возможности существования непротиворечивой неевклидовой геометрии, но скрывал ее, опасаясь быть непонятым.
В силу приоритета вклада Н.Лобачевского в развитие новой, отличной от евклидовой геометрии последняя была названа в его честь "геометрией Лобачевского".
Аксиоматика планиметрии Лобачевского отличается от аксиоматики планиметрии Евклида лишь одной аксиомой: аксиома параллельности заменяется на ее отрицание – аксиому параллельности Лобачевского
- Найдутся такая прямая a и такая не лежащая на ней точка A, что через A проходят по крайней мере две прямые, не пересекающие a
Все остальные четыре группы аксиом Евклида предполагаются выполняющимися в геометрии Лобачевского.
Лобачевский показал, что исходя из выбранной им аксиоматики можно построить очень содержательную теорию, не менее содержательную, чем классическая евклидова геометрия. Хотя геометрия Лобачевского развивалась как умозрительная теория и сам Лобачевский называл ее "воображаемой геометрией", тем не менее именно Лобачевский рассматривал ее не как игру ума, а как возможную теорию пространственных отношений. Однако доказательство непротиворечивости геометрии Лобачевского было дано позже, когда были указаны ее интерпретации (модели) и тем полностью решен вопрос о ее реальном смысле, логической непротиворечивости.
Лобачевский строил свою геометрию, отправляясь от основных геометрических понятий и своей аксиомы, и доказывал теоремы геометрическим методом, подобно тому, как это делается в геометрии Евклида. Основой служила теория параллельных линий, т.к. именно здесь начинается отличие геометрии Лобачевского от геометрии Евклида. Все теоремы, не зависящие от аксиомы о параллельных, общи обеим геометриям и образуют т.н. абсолютную геометрию, к которой относятся, например, теоремы о равенстве треугольников. Вслед за теорией параллельных строились другие отделы, включая тригонометрию и начала аналитической и дифференциальной геометрии. Думаю, стоит привести несколько фактов из геометрии Лобачевского, отличающих ее от геометрии Евклида и установленных самим Лобачевским.
1. В геометрии Лобачевского не существует подобных, но неравных треугольников; треугольники равны, если их углы равны. Поэтому существует абсолютная единица длины, т. е. отрезок, выделенный по своим свойствам, подобно тому как прямой угол выделен своими свойствами. Таким отрезком может служить, например, сторона правильного треугольника с данной суммой углов.
2. Сумма углов всякого треугольника меньше 180° и может быть сколь угодно близкой к нулю. Разность между 180° и суммой углов треугольника пропорциональна его площади.
3. Через любую точку O, не лежащую на прямой a, проходит бесконечное число прямых, не пересекающих a. Среди них есть две крайние, b и b', которые и называются параллельными прямой a в смысле Лобачевского. Угол между прямой b (или b') и перпендикуляром из O на a - так называемый угол параллельности - по мере удаления точки O от прямой a убывает от 90° до 0°. Параллель b с одной стороны (а b' с противоположной)асимптотически приближается к a, а с другой стороны от нее бесконечно удаляется.
4. Если прямые имеют общий перпендикуляр, то они бесконечно расходятся в обе стороны от него. К любой из них можно восстановить перпендикуляры, которые не достигают другой прямой.
5. Линия равных расстояний от прямой не есть прямая, а особая кривая, называемая эквидистантой, или гиперциклом.
6. Длина окружности не пропорциональна радиусу, а растет быстрее.
7. Чем меньше область на плоскости Лобачевского, тем меньше геометрические соотношения в этой области отличаются от соотношений евклидовой геометрии. Можно сказать, что в бесконечно малой области имеет место евклидова геометрия. Например, чем меньше треугольник, тем меньше сумма его углов отличается от 180°, и т.д. Уменьшение области формально равносильно увеличению единицы длины, поэтому при безграничном увеличении единицы длины формулы геометрии Лобачевского переходят в формулы евклидовой геометрии. Евклидова геометрия есть в этом смысле "предельный" случай геометрии Лобачевского.
|
| Сообщение изменено ААЗ от 2006-09-06 12:08:29 |
|
| IP |
|
ААЗ
Участник
|
| отправлено: 06-09-2006 12:11:21 | |
инфо • правка • ссылка • сообщить модератору |
Ну ладно, на сегодня хватит. В ближайшие дни я собираюсь привести здесь модель Пуанкаре геометрии Лобачевского, вскользь упомянуть еще несколько моделей, определить геометрии Римана и сравнить их с геометрией Лобачевского. Если кому интересно еще что-то или есть вопросы - пишите.
|
|
| IP |
|
Chaynic
Участник
|
| отправлено: 06-09-2006 12:56:53 | |
инфо • правка • ссылка • сообщить модератору |
To ААЗ
Правильно ли я понял, что Лобачевский не рассматривал случай, когда через точку вне прямой а нельзя провести прямую не пересекающую прямую а? Т.е., другими словами, рассматривал кривизну пространства только одного знака? |
|
| IP |
|
ААЗ
Участник
|
| отправлено: 06-09-2006 13:54:02 | |
инфо • правка • ссылка • сообщить модератору |
To Chaynic
цитата:
Правильно ли я понял, что Лобачевский не рассматривал случай, когда через точку вне прямой a нельзя провести прямую не пересекающую прямую a?
Да, это так. Обращаю Ваше внимание на формулировку аксиомы параллельности Евклида: цитата:
через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, не пересекающей данную В этой формулировке наличие такой прямой не подразумевается заранее, ее наличие доказывается исходя из аксиом. То есть случай отсутствия прямой, параллельной данной - это все еще в ведении геометрии Евклида. цитата:
Т.е., другими словами, рассматривал кривизну пространства только одного знака? Про кривизну мне бы пока не хотелось говорить, до геометрий Римана. Тут есть определенные проблемы.
|
|
| IP |
|
ych
Участник
vanitas vanitatum
licq:3461
|
| отправлено: 06-09-2006 18:18:55 | |
инфо • правка • ссылка • сообщить модератору |
| Когда расстояние между точкой и прямой становится сравнимо с Планковской длиной (порядка 10^(-33) см), вот тогда и выясняется специфика пространства как пространства Лобачевского. |
|
| IP |
|
ААЗ
Участник
|
| отправлено: 06-09-2006 18:24:00 | |
инфо • правка • ссылка • сообщить модератору |
To ych
цитата:
Когда расстояние между точкой и прямой становится сравнимо с Планковской длиной Что-то не понял, что имеете ввиду. Или это шутка такая?
|
|
| IP |
|
ych
Участник
vanitas vanitatum
licq:3461
|
| отправлено: 06-09-2006 18:40:27 | |
инфо • правка • ссылка • сообщить модератору |
Планковская длина - длина волны нулевых квантовых колебаний гравитационного поля, при которой искажается евклидова геометрия пространства:
P=(Gh/c^3)^(1/2) имеет размерность длины и составляет около 2 10^(-33) см, где: G - гравитационная постоянная, h - постоянная Планка, с - скорость света. |
|
| IP |
|
ААЗ
Участник
|
| отправлено: 06-09-2006 18:56:14 | |
инфо • правка • ссылка • сообщить модератору |
To ych
Что такое планковская длина, я знаю. Я не понимаю, каким образом длину в каких-либо единицах измерения можно использовать в математике, где длины безразмерны. Особенно учитывая, что для построения геометрии Лобачевского задается "единичная длина", которая может быть сколь угодно маленькой, и все зависит от нее. Другими словами, можно построить геометрию Лобачевского, в которой 10^(-33) см - это очень большая величина.
|
|
| IP |
|
ААЗ
Участник
|
| отправлено: 07-09-2006 11:08:43 | |
инфо • правка • ссылка • сообщить модератору |
Модель Пуанкаре
Непротиворечивость системы аксиом обычно доказывается представлением
модели, в которой реализуются данные аксиомы. Таким образом, чтобы доказать непротиворечивость аксиом геометрии Лобачевского (то есть что аксиома параллельности Лобачевского не противоречит остальным аксиомам) следует представить модель геометрии Лобачевского. Модель, которую я сейчас приведу, была предложена французским математиком Анри Пуанкаре в 1882 г. На самом деле существуют две модели Пуанкаре, которые на самом деле эквивалентны друг другу - на полуплоскости без границы и на круге без границы. Честно говоря, я не знаю, какую из них Пуанкаре предложил изначально. А может быть, и обе сразу. Я здесь опишу модель Пуанкаре на полуплоскости как более наглядную с моей точки зрения. Модель на круге я упомяну позже, когда буду говорить о других моделях.
Построение модели Пуанкаре начнем с того, что придадим конкретный смысл основным объектам и основным отношениям планиметрии Лобачевского. Для этого фиксируем на евклидовской плоскости E горизонтальную прямую x. Она носит название "абсолюта". Точками плоскости Лобачевского считаются точки плоскости E, лежащие выше абсолюта x. Таким образом, в модели Пуанкаре плоскость Лобачевского – это полуплоскость L, лежащая выше абсолюта.
Прямыми плоскости L считаются полуокружности с центрами на
абсолюте и лучи с вершинами на абсолюте и перпендикулярные ему.
Фигура на плоскости Лобачевского – это фигура полуплоскости L. Принадлежность точки фигуре понимается так же, как и на
евклидовой плоскости E. При этом отрезком плоскости L считается дуга окружности с центром на абсолюте или отрезок прямой, перпендикулярной абсолюту.
Заметим, что для любых точек C и D плоскости L существует единственная прямая, проходящая через эти две точки. Действительно, если прямая a евклидовой плоскости E, проходящая через точки C и D, перпендикулярна абсолюту x, то никакая полуокружность с центром на абсолюте не может проходить через эти точки, и существует единственный луч, перпендикулярный абсолюту и проходящий через эти точки. Если же a не перпендикулярна абсолюту x, то, проведя серединный перпендикуляр к отрезку CD и найдя его пересечение с абсолютом, мы получим центр единственной полуокружности с центром на абсолюте, проходящей через C и D. Естественно, никакой луч, перпендикулярный абсолюту, не проходит через C и D.
Основные отношения между объектами: понятие принадлежности точки фигуре определяется естественным образом; точка лежит между двумя точками на прямой, если она принадлежит дуге, соединяющей эти две точки (в случае если прямая - это полуокружность с центром на абсолюте) или если она принадлежит отрезку, соединяющему эти две точки (в случае если прямая - это луч, перпендикулярный абсолюту).
Можно ввести декартову систему координат на полуплоскости, сопоставив естественным образом каждой точке пару чисел (x,y), где x - действительное число, а y - положительное действительное число. На парах чисел можно ввести лексикографическую упорядоченность, считая что пара (x,y) лексикографически меньше пары (u,v), если x<u, или если x=u и y<v. Тогда окажется, что точка C лежит между точками A и B в том и только том случае, если лексикографически координаты A меньше координат C, а координаты C меньше координат B (или наоборот, координаты B меньше координат C, а координаты C меньше координат A).
Длина отрезков определяется так. Неевклидовым движением плоскости Лобачевского называется преобразование этой плоскости, являющееся композицией конечного числа инверсий с центрами на абсолюте и осевых симметрий относительно лучей, перпендикулярных абсолюту. Отрезки, переходящие друг в друга неевклидовым движением плоскости, считаются равными по длине. Этого достаточно, чтобы полностью задать длину отрезков (если изначально зафиксировать длину какого-либо отрезка).
Можно проверить, что все аксиомы Лобачевского в данной модели плоскости выполняются. Я этого делать не буду, но если у кого-то есть неясности по отдельным аксиомам, я могу помочь.
|
| Сообщение изменено ААЗ от 2006-09-07 11:12:51 |
|
| IP |
|
ААЗ
Участник
|
| отправлено: 08-09-2006 23:09:59 | |
инфо • правка • ссылка • сообщить модератору |
Другие модели геометрии Лобачевского
В 1871 году Ф. Клейн предложил следующую модель геометрии Лобачевского (насколько я знаю, это - первая из моделей). Геометрия Лобачевского в модели Клейна есть не что иное, как геометрия внутри круга на обычной (евклидовой) плоскости, лишь выраженная особым образом. Именно, будем рассматривать внутренность круга на обычной плоскости (без ограничивающей его окружности), и назовем эту внутренность "плоскостью". Точкой "плоскости" будет точка внутри круга. "Прямой" будем называть любую хорду. "Движением" назовем любое преобразование круга самого в себя, которое переводит хорды в хорды. Соответственно, равными называются фигуры внутри круга, переводящиеся одна в другую такими преобразованиями. Тогда оказывается, что любой геометрический факт, описанный на таком языке, представляет теорему или аксиому геометрии Лобачевского. Иными словами, всякое утверждение геометрии Лобачевского на плоскости есть не что иное, как утверждение
евклидовой геометрии, относящееся к фигурам внутри круга, лишь пересказанное в указанных терминах.
Позже А.Пуанкаре в связи с задачами теории функций комплексного переменного дал другую модель. За плоскость Лобачевского принимается внутренность круга, прямыми считаются дуги окружностей, перпендикулярных окружности данного круга, и его диаметры, а движениями - преобразования, получаемые комбинациями инверсий относительно окружностей, дуги которых служат прямыми. Модель Пуанкаре замечательна тем, что в ней углы изображаются обычными углами. Данная модель Пуанкаре полностью эквивалентна описанной в предыдущем посте модели Пуанкаре - одна из них получается из другой инверсией относительно точки, лежащей на некотором расстоянии от плоскости Лобачевского (от полуплоскости или внутренности круга соответственно).
Коротко модели Клейна и Пуанкаре можно определить так. В обоих случаях плоскостью Лобачевского может служить внутренность круга, и геометрия Лобачевского есть учение о тех свойствах фигур внутри круга, которые в случае модели Клейна не изменяются при проективных, а в случае модели Пуанкаре - при конформных преобразованиях круга самого в себя (проективные преобразования есть те, которые переводят прямые в прямые, конформные - те, которые сохраняют углы).
Возможно чисто аналитическое определение модели геометрии Лобачевского. Например, точки плоскости можно определять как пары чисел, прямые можно задавать уравнениями, движения - формулами, сопоставляющими точкам новые точки. Это будет абстрактно определённая аналитическая геометрия на плоскости Лобачевского, аналогично аналитической геометрии на плоскости Евклида. Т. к. Лобачевский дал основы своей аналитической геометрии, то тем самым он уже фактически наметил такую модель, хотя полное ее построение выяснилось уже после того, как на основе работ Клейна и других выявилось само понятие о модели.
Также в некотором смысле модель может быть построена как риманово пространство, но об этом - позже, когда будем говорить про геометрию Римана.
|
| Сообщение изменено ААЗ от 2006-09-08 23:12:16 |
|
| IP |
|
ААЗ
Участник
|
| отправлено: 09-09-2006 15:02:44 | |
инфо • правка • ссылка • сообщить модератору |
Неевклидовы геометрии
В буквальном понимании неевклидовы геометрии - это все геометрические системы, отличные от геометрии Евклида. Однако обычно этот термин применяется лишь к геометрическим системам (отличным от геометрии Евклида), в которых определено движение фигур, причем с той же степенью свободы, что и в геометрии Евклида. Степень свободы движения фигур в евклидовой плоскости характеризуется тем, что каждая фигура без изменения расстояний между её точками может быть перемещена так, чтобы любая выбранная её точка заняла любое заранее назначенное положение; кроме того, каждая фигура может вращаться вокруг любой своей точки.
Среди неевклидовых геометрий особое значение имеют геометрия Лобачевского и геометрия Римана, которые чаще всего и подразумевают, когда говорят о неевклидовых геометриях. Геометрия Лобачевского - первая геометрическая система, отличная от геометрии Евклида, и первая более общая теория (включающая евклидову геометрию как предельный случай). Геометрия Римана, открытая позднее, в некоторых отношениях противоположна геометрии Лобачевского, но вместе с тем служит ей необходимым дополнением. Совместное исследование геометрий Евклида, Лобачевского и Римана позволило в должной мере выяснить особенности каждой из них, а также их связи друг с другом и с другими геометрическими системами.
По-видимому, первое сообщение о геометрии Римана сделано немецким математик Б.Риманом в его лекции "О гипотезах, лежащих в основании геометрии", прочитанной в 1854 году (опубликовано в 1867), где геометрия Римана рассматривалась как частный случай римановой геометрии - теории римановых пространств в широком смысле. В этой лекции Риман замечает, что в основе всех предшествовавших исследований лежит допущение того, что прямые имеют бесконечную длину, которое является, конечно, крайне естественным. Но что получится, если отбросить это допущение, если, например, вместо него предположить, что прямые – суть линии замкнутые, вроде больших кругов на сфере. Речь идет по сути о различии между бесконечностью и безграничностью; это различие лучше всего можно понять, рассматривая аналогичное соотношение в двумерной области: безграничными являются как обыкновенная плоскость, так и поверхность сферы, но только первая бесконечна, в то время как другая имеет конечное протяжение.
Риман считает пространство лишь неограниченным, но не бесконечным; тогда прямая становится замкнутой линией, на которой точки расположены как на окружности. Если заставить теперь снова, как и прежде, точку P перемещаться по прямой a все время в одном направлении, то она в конце концов снова вернется к исходному месту, а луч AP вообще не будет иметь никакого предельного положения; не существует вообще никакой прямой, проходящей через точку A параллельно прямой a. Таким образом у Римана строится второй вид неевклидовой геометрии в противоположность геометрии Лобачевского.
Теперь по поводу аксиоматики геометрии Римана. Геометрии Евклида и Лобачевского отличаются лишь аксиомой параллельности, определяющей, сколько прямых, параллельных данной, проходит через точку. В геометрии Римана, в отличие от геометрий Евклида и Лобачевского, параллельных прямых не бывает. Одна из аксиом геометрии Римана гласит, что любые две прямые пересекаются ровно по одной точке. Однако оказывается недостаточно просто заменить этой аксиомой аксиому параллельности, поскольку эта аксиома противоречит первым четырем группам аксиом геометрии Евклида. Таким образом, система аксиом, лежащая в основе геометрии Римана, необходимо должна отличаться от системы аксиом евклидовой геометрии не только заменой одной аксиомы о параллельных другим утверждением, но и в части остальных аксиом. Различными в этих геометриях являются аксиомы, которые служат для обоснования так называемых отношений порядка геометрических элементов. Сущность в следующем: в евклидовой геометрии и в геометрии Лобачевского порядок точек на прямой является линейным, т. е. подобным порядку в множестве действительных чисел; в геометрии Римана порядок точек на прямой является циклическим, т. е. подобным порядку в множестве точек на окружности. Кроме того, в геометриях Евклида и Лобачевского каждая прямая, лежащая в данной плоскости, разделяет эту
плоскость на две части; в геометрии Римана прямая не разделяет плоскость на две части, т. е. любые две точки плоскости, не лежащие на данной прямой, можно соединить в этой плоскости непрерывной дугой, не пересекая данную прямую. Требования аксиом, определяющих движение фигур, для всех трёх геометрий одинаковы.
Хорошей моделью плоскости Римана служит так называемая проективная плоскость. Проективная плоскость получается из евклидовой плоскости присоединением специальных несобственных точек. Присоединяя к прямой несобственную точку, получают проективную прямую. К непараллельным прямым присоединяются разные точки, к параллельным - одна и та же. Дополняя плоскость несобственной прямой, считают, что на ней лежат несобственные точки всех прямых плоскости. Евклидова плоскость, дополненная несобственными элементами, называется (действительной) проективной
плоскостью. На ней через любые две различные точки проходит и притом только одна прямая, и любые две различные прямые имеют и притом только одну общую точку.
И наконец, пара примеров сравнения теорем в евклидовой геометрии и неевклидовых геометриях.
1. В геометрии Лобачевского сумма внутренних углов любого треугольника меньше 180°; в геометрии Римана эта сумма больше 180°; в евклидовой геометрии она равна 180°.
2. В геометрии Лобачевского площадь треугольника выражается формулой S = R^2 (180° - a - b - c), где a, b, c - внутренние углы треугольника, R - некоторая постоянная, которая определяется выбором единицы измерения площадей. В геометрии Римана имеет место формула S = R^2 (a + b + c - 180°) при аналогичном значении символов. В евклидовой геометрии зависимости между площадью треугольника и суммой его углов нет.
|
| Сообщение изменено ААЗ от 2006-09-09 15:05:06 |
|
| IP |
|
ААЗ
Участник
|
| отправлено: 09-09-2006 15:08:18 | |
инфо • правка • ссылка • сообщить модератору |
To Chaynic
В своем вопросе ко мне Вы по-моему имели ввиду совсем другую геометрию Римана. Не беспокойтесь, до нее тоже дойдет очередь. Тут уж ничего не поделаешь - термин "геометрия Римана" используется в двух различных смыслах - как антипод геометрии Лобачевского и как более общее понятие (Римановы пространства).
|
|
| IP |
|
ААЗ
Участник
|
| отправлено: 15-09-2006 11:22:23 | |
инфо • правка • ссылка • сообщить модератору |
Риманова геометрия (теория римановых пространств)
Риманова геометрия - это многомерное обобщение геометрии на поверхности, представляющее собой теорию римановых пространств, т. е. таких пространств, где в малых областях приближённо имеет место евклидова геометрия (с точностью до малых высшего порядка сравнительно с размерами области). Риманова геометрия получила свое название по имени Б.Римана, который заложил её основы в 1854.
Гладкая поверхность в евклидовом пространстве, рассматриваемая с точки зрения измерений, производимых на ней, оказывается двумерным пространством, геометрия которого (так называемая внутренняя геометрия), будучи приближенно евклидовой в малом (в окрестности любой точки она совпадает с точностью до малых высшего порядка с геометрией касательной плоскости), точно не является евклидовой; к тому же, как правило, поверхность неоднородна по своим геометрическим свойствам. Поэтому внутренняя геометрия поверхности и есть не что иное, как риманова геометрия двух измерений, а сама поверхность есть двумерное риманово пространство.
Так, при измерениях на участках земной поверхности, малых в сравнении с размерами земного шара, можно с успехом применять обычную планиметрию, однако результаты измерений на больших участках обнаруживают существенное отклонение от законов планиметрии. Перенесение этих понятий на многомерные пространства приводит к общей римановой геометрии. В основе римановой геометрии лежат три идеи. Первая идея - признание того, что вообще возможна геометрия, отличная от евклидовой, - была впервые развита Н.И.Лобачевским, вторая - это идущее от К.Ф.Гаусса понятие внутренней геометрии поверхностей и ее аналитический аппарат в виде квадратичной формы, определяющей линейный элемент поверхности; третья идея — понятие об n-мерном пространстве, выдвинутое и разработанное в 1-й половине 19 в. рядом геометров. Риман, соединив и обобщив эти идеи (в лекции "О гипотезах, лежащих в основании геометрии", прочитанной в 1854 и опубликованной в 1867), ввел общее понятие о пространстве как непрерывной совокупности любого рода однотипных объектов, которые служат точками этого пространства, и перенес на эти пространства представления об измерении длин малыми шагами.
После опубликования работ Римана его идеи привлекли внимание ряда математиков, которые развивали дальше аналитический аппарат римановой геометрии и устанавливали в ней новые теоремы геометрического содержания. Важным шагом было создание итальянскими геометрами Г.Риччи-Курбастро и Т.Леви-Чивита на рубеже 20 в. так называемого тензорного исчисления, которое оказалось наиболее подходящим аналитическим аппаратом для разработки римановой геометрии. Решающее значение имело применение римановой геометрии в создании А.Эйнштейном общей теории относительности, которое было триумфом не только абстрактной геометрии, но и идей о связи геометрии и физики, выдвинутых Лобачевским и Риманом. Это привело к бурному развитию римановой геометрии и ее разнообразных обобщений. Риманова геометрия используется также в теоретической механике и в некоторых других разделах физики. В настоящее время риманова геометрия вместе с ее обобщениями представляет собой обширную область геометрии, которая продолжает успешно развиваться.
Строгое определение римановой геометрии вряд ли имеет смысл давать здесь, да и технически это очень сложно, поскольку для строгих определений требуется приводить достаточно сложные математические формулы. Риманова геометрия определяется на гладком многообразии. Поскольку мы здесь рассматриваем только двумерные геометрии, риманова геометрия определяется на гладкой двумерной поверхности в трехмерном пространстве. Примером такой поверхности является сфера. Расстояние между двумя точками на поверхности определяется как наименьшая длина кривой, соединяющая эти две точки. Если точки достаточно близки друг к другу, эта кривая - единственна. В общем случае единственность места не имеет. Например, для двух диаметрально противоположных точек сферы существует бесконечное число дуг, являющихся кратчайшими путями между этими точками. На поверхности определяются так называемые геодезические линии - это кривые, для любых близких точек которых соединяющий их фрагмент геодезической есть наименьший путь между этими двумя точками.
Наряду с расстояние между точками можно ввести и угол между линиями как угол между соответствующими касательными прямыми. Однако полноценной геометрической теории, подобной геометриям Евклида, Лобачевского, Римана, в общем случае построить невозможно. Прежде всего это обусловлено "неоднородностью" поверхностей. Грубо говоря, в общем случае невозможно провести сдвиг фигуры (например, треугольника) без его деформации. Тем самым, ввести адекватную систему аксиом в общем случае также невозможно. Риманова геометрия по большому счету не имеет ничего общего с геометриями Евклида, Лобачевского и Римана, описанными в предыдущих постах.
Однако в отдельных случаях (для некоторых поверхностях в трехмерном пространстве) имеет место и однородность риманового пространства. Это происходит в случае, когда поверхность имеет постоянную кривизну. Определять кривизну также нет смысла, а если грубо - повехность имеет одинаковую кривизну, если во всех точках она "изогнута" одинаково. Пример поверхности постоянной положительной кривизны - сфера (чем больше радиус, тем меньше кривизна). Плоскость имеет постоянную нулевую кривизну. Есть еще так называемая псевдосфера - бесконечная поверхность, имеющая постоянную отрицательную кривизну. И оказывается, что поверхности постоянной кривизны в некотором смысле оказываются моделями описанных выше геометрий (Евклида, Лобачевского, Римана).
Собственно, поверхность нулевой кривизны - плоскость - является моделью Евклидовой геометрией во всех смыслах. Именно на плоскости геометрия Евклида и строится.
Сложнее дело обстоит с геометрией Лобачевского. В 1968 году итальянский математик Э.Бельтрами заметил, что геометрия на куске плоскости Лобачевского совпадает с геометрией на поверхностях постоянной отрицательной кривизны. Если точкам и прямым на конечном куске плоскости Лобачевского сопоставлять точки и кратчайшие линии (геодезические) на псевдосфере и движению в плоскости Лобачевского сопоставлять перемещение фигуры по псевдосфере с изгибанием, сохраняющим длины, то всякой теореме геометрии Лобачевского будет отвечать факт, имеющий место на псевдосфере. Таким образом, геометрия Лобачевского получает простой реальный смысл. При этом длины, углы, площади понимаются в смысле естественного измерения их на псевдосфере. Однако здесь дается интерпретация только геометрии на куске плоскости Лобачевского, а не на всей плоскости (в 1901 Д.Гильберт доказал даже, что вообще в евклидовом пространстве не может существовать регулярной поверхности, геометрия на которой совпадает с геометрией всей плоскости Лобачевского).
Насколько я знаю, подобное верно и для геометрии Римана. Достаточно маленький кусок плоскости Римана может быть рассмотрен как кусок повехности постоянной положительной кривизны. Но всю плоскость Римана невозможно поместить на всю такую поверхность.
|
|
| IP |
|
ААЗ
Участник
|
| отправлено: 15-09-2006 11:33:55 | |
инфо • правка • ссылка • сообщить модератору |
Ну и мое личное мнение о роли Лобачевского. С моей точки зрения, роль эта чрезвычайно высока. В прямом смысле геометрию Лобачевского никак нельзя рассматривать как частный случай теории Римана. Это просто совершенно разные теории, правда, имеющие соприкосновение, а именно кусок псевдосферы является моделью для куска плоскости Лобачевского. Теория Лобачевского - это классическая геометрическая теория, основанная на аксиоматике. Этого нет в теории Римана. Кроме того, Лобачевский первым (по крайней мере, из опубликованных) рассмотрел абстрактную геометрическую теорию, которая, как тогда казалось, не имеет никакого отношения к реальному миру. Тем самым был дан мощный толчек математической мысли. В свою очередь, теория Римана - эта теория с привлечением мощного дифференциального аппарата. Тоже очень важная. Но совершенно другая. Однако, если смотреть только с точки зрения физики, то роль Лобачевского невелика. В физике нужна как раз теория Римана. Так что, вероятно, роль Лобачевского для физики ограничивается толчком математической мысли.
Все, я сказал что хотел. Если есть вопросы или комментарии - прошу.
|
|
| IP |
|
Chaynic
Участник
|
| отправлено: 15-09-2006 19:25:49 | |
инфо • правка • ссылка • сообщить модератору |
To ААЗ
Спасибо, Вы многое для меня прояснили. У меня было несколько упрощенное представление, как раз, "с точки зрения физика". |
|
| IP |
|
ych
Участник
vanitas vanitatum
licq:3461
|
| отправлено: 15-09-2006 19:45:32 | |
инфо • правка • ссылка • сообщить модератору |
To ААЗ
Я и вовсе считал, что геометрии Римана и Лобачевского - это одно и то же королевство кривых пространств. |
|
| IP |
|
ych
Участник
vanitas vanitatum
licq:3461
|
| отправлено: 15-09-2006 19:50:39 | |
инфо • правка • ссылка • сообщить модератору |
To ААЗ
Меня заинтересовало 5-мерное пространство-время-заряд Теодора Калуцы и Оскара Клейна. Где о нем что-то почитать поподробнее? |
| Сообщение изменено ych от 2006-09-15 21:24:52 |
|
| IP |
|
ААЗ
Участник
|
| отправлено: 15-09-2006 20:55:53 | |
инфо • правка • ссылка • сообщить модератору |
To ych
цитата:
Меня заинтересовало 5-мерное пространство-время-заряд Оскара Клейна. Где о нем что-то почитать поподробнее? Понятия не имею. Я даже не знаю, что это такое 
|
|
| IP |
|
ААЗ
Участник
|
| отправлено: 15-09-2006 20:58:23 | |
инфо • правка • ссылка • сообщить модератору |
To ФЕЛИЦА
цитата:
А что физики и математики думают о понятии "информационное поле"? Почему именно математики и физики? Вроде бы, это не физико-математический термин. По крайней мере я его нигде, кроме фантастических произведений, не встречал.
|
|
| IP |
|
ych
Участник
vanitas vanitatum
licq:3461
|
| отправлено: 15-09-2006 21:04:24 | |
инфо • правка • ссылка • сообщить модератору |
To ФЕЛИЦА
цитата:
"информационное поле"?
Это наверно термин из журналистики. В физике - поля материи (фермионные) и силовые поля (бозонные), о других я не слыхал. |
|
| IP |
|
|
